Quantum mechanics

• natural (N): {1,2,3, …}, soms nul
• integers (Z, zahlen): ook negatief en nul
• rational (Q): quotient
• real (R): alle punten op lijn
• irrational: wel real, niet rational
• complex (C)
• hypercomplex, bijv. quaternionen (H)

• expanding to the first order = afgeleide bepalen

• \(\delta\) is a non-real (hyperreal) infinitesimal (higher than zero and lower than the lowest real number)
• \(\epsilon\) is a real number used in connection with small changes (but not always small)
• \(d\) or \(dx\) in \(df/dx\) is not something you can calculate independently with: in the limt of the definition of a differential it can become very small
• \(x \rightarrow x + y\delta\)
• \(\dot{x} \rightarrow \dot{x} + \dot{y}\delta\)
• \(\delta x = y \delta\)
• \(\delta \dot{x} = \dot{y}\delta\)
• \(\delta x = \epsilon f_x = \epsilon y\) (en y=$f_x(x) in which the function calculates the change)
• \(\delta \dot{x} = \epsilon \dot{f}(x)\)
• thus, \(\frac{df(x)}{dx} = \frac{\delta f(x)}{\epsilon}\) in which \(\epsilon\) is a small distance

• How to
  • \(F = x^2 + xy + y^2\)
  • \(\frac{\partial F}{\partial x} = 2x + y\)
• Time derivative of a multivariable function: see Poisson Bracket
  • For the change z(x+Δx,y+Δy)−z(x,y) of the function z(x,y) bacause of a small change Δx and Δy: z(x+Δx,y+Δy) − z(x,y) ≈ z′x(x,y)Δx + z′y(x,y)Δy.
  • The changes in x and/or y have to be small to guarantee a good approximation.
  • Meaning: ∂z/∂x is actually ∂z(x,y)/∂x as the derivative depends on the coordinates
• Important rules
  • \(\frac{\partial q}{\partial p} = 0\)
  • \(\frac{\partial F}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} = 0\)
  • here you can exchange p and q: \(\frac{\partial}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q}\)

• ket-vector or ket
• |A> is a complex vector (in a complex vector space, or "ket-space")
• vectors are not written with a hat but with a capital
• rule of multiplication with a complex number: z|A> = |zA> = |B>
• addition and multiplication of complex vectors is possible if the number of dimensions match
  • |A> + |B> = |C>
  • |A> + |B> = |B> + |A>
  • |A> + 0 = |A>
  • |A> + (-|A>) = 0
  • {|A> + |B>} + |C> = |A> + {|B> + |C>}
  • z{|A> + |B>} = z|A> + z|B>
  • {z + w} |A> = z|A> + w|A>
• rules for calculatig with kets and column vectors: p.25
• |A> is either
  • complex valued function
  • column vector of complex numbers which are the components in a orthonormal basis

• dual version of complex number or vector: negating imaginary part
• and it transforms a column vector to a row vector and vice versa
• the conjugation sign is *
• it allow the formation of bra-kets which is required for (and is the sign of) the inner product and squaring (e.g. to go from probaility amplitude to probability)
• \(z* = x-iy = re^{-iθ}\)
• ( |A> )* = <A|, or, a bra becomes a ket
• { |A> + |B> }* = <A| + <B|
• ( z|A> )* = <A|z*
• ( <A|B> )* = <B|A>
• <A| = \((z_1^*, z_2^*)\), as in, a column becomes a row
• \(z^* z = r^2\)
• "a real number is equal to its complex conjugate", \(\lambda = \lambda^*\)

• <A|Z> = \(ɑ^*_1 z_1 + ɑ^*_2z_2\) (result: complex number)
• <A|A> = 1 if vector A normalised (unit vector for 3-vectors)
• <A|B> = 0 means A and B are orthogonal
• <C| { |A> + |B> } = <C|A> + <C|B>
• squaring inner product \(| \langle A | B \rangle |^2 = \langle A | B \rangle \langle B | A \rangle\) to negate the imaginary part

• complex numer with radius 1
• \(z^* z = 1\)
• \(z = e^{iθ} = \cos(θ) + i\sin(θ)\)

• consider F(q,p)
  1. a function of a point in phase
  2. in case of following a trajectory in phase space: a function of time
• time derivative of F: \(\dot{F} = \sum {(\frac{\partial F}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i)}\), as
  • derivative of t: \(\dot{q}\) = \(\dot{q}(t)\)
  • derivative of q: \(\frac{\partial F}{\partial q} = \frac{\partial F(q,t)}{\partial q}\)
  • chain rule of two independent variables: \(\frac{\partial F(q,p)}{\partial t} = \frac{\partial F(q,p)}{\partial q}\frac{\partial q}{\partial t} +\;\)…
  • over the complete range of t \(\dot{q}\) gives the time derivative of q which is entered as \(\partial q\) into \(\frac{\partial F}{\partial t}\) at (q,p)
• filling in the Hamiltonian equations: \(\dot{F} = \sum {(\frac{\partial F}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial F}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i})} = \{F, H\}\)
• effect of adding something else than A or B
  • if A and B do not contain p or q the PB is zero
  • adding \(q(t)\) or \(p(t)\)
    • \(\{q_k, H\} = \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot{q_k}\) (the PB contains the Hamiltonian), because \(\frac{\partial q}{\partial q}\) = 1 en \(\frac{\partial q}{\partial p} = 0\)
    • \(\{p_k, H\} = \frac{\partial H}{\partial q_i} = \dot{p_k}\) (now without negative sign in the Hamiltonian equation of motion)
    • \(\{q_i,q_j\} = 0\) en \(\{p_i,p_j\} = 0\) as i and j differ and are independent
    • \(\{q_i, p_j\} = \delta _{ij}\)
    • \(\{q^n,p\}=\frac{d(q^n)}{dq}\) (provable through mathematical induction)
    • \(\{F(q,p),p_i\} = \frac{\partial F(q,p)}{\partial q_i}\)
    • \(\{F(q,p),q_i\} = -\frac{\partial F(q,p)}{\partial p_i}\)

• Poisson bracket: \(\{A, B\} = \sum {(\frac{\partial A}{\partial q_i} \frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial B}{\partial q_i})}\)

1. \(\{p \vee q \vee f(p,q), H\} = \dot{p}\) bij p – the PB of something (q, p, or a function of [one of] them) and the Hamiltonian, is its time derivative
2. \(\{F(p,q), p \vee q\} = \frac{\delta F}{\delta q}\) bij p – the PB of a function with \(p_i\) has the effect of differentiating the function with respect to \(q_i\), with q vice versa but with negative sign
3. \(\{p \vee q, Q\} = \dot{p}\) bij p and $\{Q_i, Q_j\}$– the PB of a coordinate or momentum with a conserved quantity gives the transformation behavior of it under a symmetry
   • e.g. angular momentum: to compute the change in any quantity (or just p and q?) when the coordinates are rotated (under a symmetry) about the i-th axis, we compute the Poisson bracket of the quantity with the angular momentum with \(\delta F = \{F, L_i\}\), to that it is proportional, in which F is "any quantity" see example
   • second, \(\{L_x\, L_y\} = L_z\), ofwel \(\{L_i, L_j\} = \sum\limits{k}\epsilon_{ijk} L_k\), see 11.2.2 for an example
   • transformation on a line (repeat 2): in case of translation invariance / symmetry, \(\{F(x),p\} = \frac{dF}{dx} \Rightarrow \delta F = \epsilon \{F(x),p\} = \epsilon \frac{dF}{dx}\)
   • small change in a quantity under a time-transformation (repeat 1): \(\{p, H\} = \dot{p'} = \frac{\delta p}{\epsilon}\) where \(\epsilon\) is the time-transformation
   • generator G(p,q) invullen als variant op de Hamiltoniaan
     • \(\delta q_i = \{q_i, G\}\)
     • aangezien de Hamiltoniaan ook een funcie met p en q is
     • indien E van systeem gelijk blijft na deze transformatie (waar ook uit gevoerd) gaat het om transformatie binnen een symmetrie
     • eis is derhalve {H, G} = 0, in other words, H does not change with a transformation by G
     • derhalve ook {G, H} = 0 so G is conserved

• \(\{A,C\} = -\{C,A\}\) (antisymmetry), therefore \{A,A\} = 0$
• \(\{kA,C\} = k\{A,C\}\) en \(\{(A+B),C\} = \{A,C\} + \{B,C\}\) (antilinearity)
• \(\{(AB),C\} = B\{A,C\} + A\{B,C\}\)

• synonyms: conjugate momentum
• in comparison with mechanical momentum
  • not per se gauge invariant
  • not "real" / observable

• mathmatical representation of a circle with radius
  • \(x = r\:cos\:\theta\)
  • \(y = r\:sin\:\theta\)
• mathmatical representation with carthesian coordinates
  • \(x = x \: cos \: \theta + y \: sin \: \theta\)
  • \(y = -x \: sin \: \theta + y \: cos \: \theta\)
• for a small angle:
  • \(sin \: \delta = \delta\)
  • \(cos \: \delta = 1 - \frac{1}{2} \delta^2 = 1\) which vanishes compared with the sinus
• infinitesimal rotation
  • \(\delta x = \epsilon f_x = + \epsilon y\) and \(f_x = y\) and \(\delta\dot{x}=y\delta\)
  • \(\delta y = \epsilon f_y = - \epsilon x\) and \(f_y = -x\) and \(\delta\dot{y}=-x\delta\)
• \(L = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-V(x^2+y^2)\) Lagrangian for a particle in orbit
• \(Q = \sum\limits_{\:\:i}{p_if_i(q)}\) ⇒ \(Q = p_x f_x + p_y f_y\) if the rotation is invariant with respect to the Lagrangian
• \(L = xp_y - yp_x\) in which L is the angular momentum, to visualize
  • \(L\) is invariant
  • both \(p_i\) and \(x,y\) change with the rotation predictably
  • using \(m=1\) \(p\) changes to \(v\): and \(v\) and \(x,y\) are easily visualized
• so a circling particles changes its momentum components continously, dependent on its coordinates on the circle

• A force
  • perpendicular to magnetic field and direction of movement of particle, on
    • moving electric charge: \(\vec F = \frac e c \vec v \times \vec B\) (Lorentz force)
      • \(L = \frac m 2 ( \dot x _i ) ^2 + \frac e c \dot x_i \cdot A_i(x)\) where i is direction of space
      • equation of motion: \(m a_x = \frac e c ( B_z \dot{y} - B_y \dot{z} )\)
      • \(H = \sum \limits _i \{ \frac 1 {2m} (p_i - \frac e c A_i(x))(p_i - \frac e c A_i(x) ) \} v^2\)
    • electric current
  • magnetic materials, on
    • (para)magnetic materials (attractive)
    • magnet
• Created by
  • magnetized materials
  • electric currents
  • a moving electric field
• For all magnetic fields (B): \(\vec\nabla \cdot \vec{B}(x) = 0 \Rightarrow \vec{B} = \vec\nabla \times \vec{A}\).
  • A is the vector potential: can not be detected ("not the same reality as a magnetic field")
    • gauge transformation:
      • the addition of a gradient to the magnetic potential vector has no effect on a curl: \(A' = A + \nabla s\)
      • cf the force \vec{F}(x) = ∇ U (x): U'(x) = U(x) = c
      • thus one can never measure a potential, only the derivative
      • non-intuitive and abstract
      • gauge transformation: a change in a potential that does not affect the field
      • why bother with an ambigous and not real potential? it allows Langrangian and Hamiltonian
      • so although there is gauge invariance in nature, formalism requires us to choose
      • returning feature of physical laws

• radiates from positive to negative charge
• (electric) force per unit of charge on a charged particle
• \(\vec F = e \vec E\) where e is the charge
• \(\vec E = - \vec \nabla V\): a static non-time dependent electric field has no curl (so is gradient)
• dus \(\vec F = -e \vec \nabla V\) which reveals the potential energy

• Objecten in de quantummechanica zijn zo klein dat we hun gedrag in het normale leven niet waarnemen.
• Hierdoor hebben we daar geen intuitie voor ontwikkeld.
• Dit gedrag wijkt sterk af van het gedrag van grotere lichamen.
• Mathematische abstractie is het beste alternatief, maar deze is conceptueel vreemd en de logica tegenintuitief (niet Boolean).
• Een van bijzonderheden is met experimenten de staat van een object niet bepaald kan worden:
  • Een interactie waarmee je kan meten is meteen sterk genoeg het systeem in een ander element te veranderen.
  • Indien het object in een staat van superpositie verkeert, zorgt voor een collaps tot een enkele mogelijke uitkomst.

• in de qm is de "space of states" (de "mogelijke staten" waarin het systeem kan verkeren):
• een vector space, genormaliseerde complexe ket-vectors met een eindig of oneindig aantal dimensies (orthogonale assen)
• normalisatie: de lengte (de som van de kansen op een bepaalde uitkomst, zie later) moet 1 zijn
• de uitkomst van een meting (een mogelijke uitkomst) kan worden weergegeven als een vermenigvuldigingsfactor (eigenvalue) gevolgd door een orthogonale as (eigenvector)
• orthogonale assen verschillen dus fysiek en sluiten elkaar uit: een systeem kan niet in twee staten verkeren
• dit is een Hilbert space maar wat dit precies betekent…
• klassiek is de space of states een mathematische set (kop of munt, uitkomst dobbelsteen, x_i en p_i)
• een qubit heeft twee orthogonale assen en de x positie oneindig veel assen
• iedere dimensie heeft dus een phase factor
  • "een lengte langs een een as kaan geroteerd worden met een hoek
  • hierdoor wordt interferentie mogelijk (en particle-wave duality): de probability amplitude van deeltjes nabij elkaar verandert afhankelijk van de fase

• https://www.scientificamerican.com/article/what-exactly-is-the-spin/
• graad van vrijheid van een deeltje: hoort bij een volledige beschrijving van een deeltje
• moeilijk intuitief te visualiseren en zo qm als het maar kan
  • effect in magnetisch veld is alsof het deeltje een kleine draaiende magneet (zoals klassiek bij een snel ronddraaiende geladen deeltje)
  • echter, de hoeveelheid spin is altijd gelijk en gekwanticeerd, er zijn slechts twee orientaties en de oppervlakte zou dan sneller dan het licht gaan
  • is essential influencing order of electrons and nuclei and in influencing interactions between particles
• geisoleerde spin (spin als een systeem op zich)
  • kan gezien worden als qubit (het eenvoudigste qm systeem)
  • indien +1 wordt gemeten leidt een volgende meting tot hetzelfde, vaak definieert +1 de z-as (en |u>)
  • 180' rotation na een dergelijke meting leidt tot -1
  • niet parallel gemeten zijn er twee opties, beide geassocieerd met een kans
  • \(<σ> \; = \hat{n} \cdot \hat{m} = \cos(\theta)\) is de gemiddelde uitkomst (dus onder rechte hoek nul)
    • m is the direction of the measurement
    • n is the direction the system is prepared in
  • omdat spin altijd in een richting gemeten wordt, betreft het derhalve \(\sigma_x\) of \(\sigma_y\) of \(\sigma_z\), of \(\sigma_n\)
  • \(\sigma_n\) heeft iets weg van een 3-vector and de component \(\hat{n}\) is het puntproduct \(\sigma_n = \vec{\sigma} \cdot \hat{n}\)
  • het is een 3d operator
• aan de hand van een qubit abstract te modelleren

• arbitrair \(| u \rangle\) is \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)\) en \(| d \rangle\) \(\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)\)
• ook wel \(|+\rangle\) en \(|-\rangle\), of \(|0\rangle\) en \(|1\rangle\)
• dit betekent: \(|u \rangle = (1 + i0)|u \rangle + (0+i0) |d \rangle\)
• zoals in een 3-vector systeem: \(\hat{y} = 1 y + 0x\)
• Bloch sphere

• de representatie van een uitwerking van een Hilbert space qubit in 3D ruimte
• de assen zijn (als altijd) arbitrair gekozen
• hier is de y-as de fase factor
• |u> and |d> zijn in Hilvert ruimte dus orthogonaal maar niet in 3d (daar een lineaire superpositie)
• synoniemen voor up zijn \(|u\rangle\) of \(|0\rangle\) of \(|+\rangle\)

• als de staatvector van een systeem identitiek is aan een mogelijke uitkomst, zal de uitkomst met zekerheid in die staat verkeren
• de staatvector kan ook een kans op meerdere mogelijke uitkomsten bevattten ("in een Bloch sphere naar iets anders an up of down wijzen"): een lineaire "superpositie" van meerdere mogelijke uitkomsten: een golffunctie / wave function
• er treedt bij een meting dan een collaps van een superpositie naar een mogelijke uitkomst op: er wordt een eigenstate gekozen uit alle mogelijke eigenstates
• daarna verkeert het systeem in die eigenstate
• bijv. een qubit staatvector A in componenten (gelabeld naar de mogelijke uitkomsten, u or d) wordt zo genoteerd:
  • \(| A \rangle = \alpha_u | u \rangle + \alpha_d | d \rangle\)
  • de kolom met coefficienten (de alfa's) noem je de wave function
• een enkele coefficient uit de wave function kolom wordt ook wel "probability amplitude" genoemd (of "overlap" naar het inner product)
  • de lengte van de vector langs de orthagonale as of eigenstate
  • vermeningvuldiging met zijn eigen conjugaat heft het imaginaire deel op
  • en daarna kwadrateren leidt tot positief getal: de kans op de uitkomst
• waarvoor dus geldt:
  • \(\alpha_u = \langle u | A \rangle\)
  • \(\alpha^*_u \alpha_u + \alpha^*_d \alpha_d = 1\) (normalisatie: <A|A> = 1)
  • \(\langle u | d \rangle = 0\)
  • \(P_u = \alpha^*_u \alpha_u = \langle A | u \rangle \langle u | A \rangle\)
• wave function kan genoteerd worden als
  • \(\psi(a,b,c,...)\) waarbij \(a,b,c\) labels zijn zoals \(u\) en \(d\) (bijv. \(\alpha_u = \psi(u)\))
    • identiek zijn dus
      • \(| \psi \rangle = \sum \limits_j \alpha_j | \psi_j \rangle\) (an eigenfunction expansion), but also
      • \(| \psi \rangle = \sum \limits_{a,b,c,....} \psi (a,b,c,...) | a,b,c,... \rangle\)
    • \(\langle a,b,c,... | \psi \rangle\)
    • \(| a,b,c,... \rangle\) is dan de bijbehorende set orthonormale basisvectoren
    • "a,b,c,…" kunnen de bijbehorende eigenvalues zijn
    • en \(A,B,C\) de defining communitative observables (zoals \(\sigma_z\) \(u\) and \(d\) definieert en dus \(\alpha_u\))
    • het kwadraat is 1: \(\sum_{a,b,c...} \psi^*(a,b,c...) \psi (a,b,c...) = 1\)
  • \(\psi(a,b)\), de coefficienten van staat psi als functie van a en b
  • een kolom met de coefficienten (de α's, of componenten)
• note: soms wordt de staatvector een golffunctie genoemd (zoals 3 coordinaten een vector in een 3D ruimte "zijn")

• na een collaps verkeert een systeem in een specifieke staat-vector
• dit maakt dat het leidt tot maximale kennis over het systeem
• en bijv. een vervolgmeting leidt tot dezelfde uitkomst

\(L | \lambda \rangle = \lambda | \lambda \rangle\)

• \(\sigma_z = \left( \begin{array}{c} 1 \; \; \; \; 0 \\ 0 \; \; {-1} \end{array} \right)\)
• \(\sigma_x = \left( \begin{array}{c} 1 \; \; 0 \\ 0 \; \; 1 \end{array} \right)\)
• \(\sigma_y = \left( \begin{array}{c} 0 \; \; \; \; i \\ -i \; \; 0 \end{array} \right)\)
• \(I = \left( \begin{array}{c} 1 \; \; 0 \\ 0 \; \; 1 \end{array} \right)\)
• algemeen \(\left( \begin{array}{c} r \; \; \; \; w \\ w^* \; \; r \end{array} \right)\)
• iedere Hermitische operator L kan uitgedrukt worden als \(L = a \sigma_x + b \sigma_y + c \sigma_z + d I\)
• I is saai: 1 is de enige eigenstaat en alle vectoren eigenvectors

• \(M | A \rangle = |B \rangle\)
• the operator M is a machine that changes states into other states, transforms
• M is an operator and its components m are a matrix (in a orthonormal basis), mark the capitals (vectors) and non-capitals (components)
• components are defined by \(m_{jk} = \langle j|M|k\rangle\)
• in matrix notation: \(\left( \begin{array}{c} m_{11} \: m_{12} \: m_{13} \\ m_{21} \: m_{22} \: m_{23} \\ m_{31} \: m_{32} \: m_{33} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{array} \right)\) or \(\sum \limits_j m_{kj} \alpha_j = \beta_k\)
• dus \(\beta_1\) wordt berekend door de bovenste rij te vermenigvuldigen met alle \(\alpha\)'s, de eerste van de rij met de eerste van de kolom, etc: \(\beta_1 = m_{11} \alpha_{1} + m_{12} \alpha_2 + m_{13} \alpha_3\)
• mark m₁₁ is a complex number, the subscripts for a matrix are in the order yx
• the operator usually represented as a NxN matrix, which allows multiplication with a ket without conjugation
• rules
  • Mz|A> = z|B>
  • M{|A> + |B>} = M|A> + M|B>
  • matrix calculation
    • addition / subtraction: https://www.studypug.com/algebra-help/adding-and-subtracting-matrices

• op te lossen door
  1. transformatie, in principe van B
  2. inner product met A
• interpretatie
  1. positie in matrix: complex getal
  2. indien A=B
     • <A|L|A> = Tr |A><A| L
     • <A|L|A> = <L>
       • de expectation value: deze zitten dus in de diagonaal van een operatormatrix
       • en indien het een eigenvector betreft (altijd bij een projectie-operator): de eigenvalues

• a linear operator
• a Hermitic operator is equivalent to its own conjugate: \(L = L \dagger\)
• \(L \dagger = [M^T]^* \Rightarrow m_{ji} = m^*_{ij}\), the definition of a dagger
• note the difference in subscripts: the matrix is mirrored and conjugated
• M|A> = |B> → <A|M† = <B|

• Kronecker multiplication: tensor product of matrices
• m × n matrix and a p × q matrix is an mp × nq matrix.
• Kronecker-formule
• Voorbeeld Kronecker

1. U is de operator die de transformatie toont, \(\psi(t) = U(t) | \psi(0) \rangle\)
   • de ontwikkeling van een staat in de tijd is dus wel deterministisch
   • uit behoud van onderscheid (\(\langle \psi(0) | \phi(0) \rangle = 0 \Rightarrow \langle \psi(t) | \phi(t) \rangle = 0\))
   • volgt \(U^\dagger U = I\) (en \(\Rightarrow U^\dagger = U\))
   • "time evolution is unitary"
2. H is the quantum Hamiltonian
   • een Hermitische operator en "unitary"
   • zijn eigenvalues de energie van een systeem
3. \(\frac{\partial | \psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar} H | \psi \rangle\) is de algemene (of tijd-afhankelijke) Schrodinger (TAS) vergelijking tenzij H van t afhankelijk is¹
4. \(H|E_j \rangle = E_j | E_j \rangle\) is de tijd-onafhankelijke Schrodinger (TOS) vergelijking
5. om de Schrodinger vergelijking op te lossen
   1. vindt de Hamiltoniaan
   2. maak een initiele staat: \(|\psi_0\rangle\)
   3. vindt de eigenvalues en eigenvectors door de TOS op te lossen, bijv. door een golffunctie en/of operator in te vullen
   4. stel de initiele coefficienten vast: \(|\psi_0\rangle = \sum \limits_j \alpha_j(0) | E_j \rangle\)
   5. zet hem om naar een tijdafhankelijke vergelijking \(|\psi\rangle = \sum \limits_j \alpha_j(0) e^{-\frac{i}{\hbar}E_jt}|E_j\rangle\)

• LH - HL = [L,H] waarbij [] de commutator is en waarvoor geldt [L, M] = -[M, L]
• zoals in de beeldbewerking maakt volgorde van operator uit: LH-HL is not per definition zero
• <[L,H]> wordt vaak genoteerd als [L,H], zoals in volgende voorbeeld
• functies
  1. \(\frac{dL}{dt} = -\frac{i}{\hbar} [L, H]\) ²
     • de algebra lijkt op die van Poisson Brackets: de wiskundige connectie is: [F,G] = i ℏ {F, G}
     • dus op een menselijke schaal is het effect verwaarloosbaar
  2. two observables commute if there is a complete basis of simultaneous eigenvectors
     • if they do not
       • one is always uncertain as
       • one can be certain (if the system is in an eigenvector) but
       • that vector will not be the eigenvector of the non-commuting operator
     • complete basis of simultaneous eigenvectors
       • \(L|\lambda_i, \mu_A \rangle = \lambda_i|\lambda_i, \mu_a \rangle\)
       • \(M|\lambda_i, \mu_A \rangle = \mu_i|\lambda_i, \mu_a \rangle\)
       • we will leave out the subscripts in the future
       • \([L,M] | \lambda, \mu \rangle = 0\) can be proven, where 0 is the zero vector, a operator that annihilates every member is the zero operator
  3. Q is behouden indien een gesloten systeem indien het "commute" met de Hamiltoniaan.
     • als QH = HQ dan is [Q, H] = 0, of "Q and H commute"

• \(|\phi\rangle \langle \psi|\)
• lineaire operator
• projection operator: \(|\phi\rangle \langle \phi|\)
  • \(|\phi\rangle \;\; \langle \phi|A\rangle\) is always proportional to \(|\phi\rangle\)
  • Hermitisch
  • eigenvalues are either 0 or 1
    • de vector van de projectie-operator heeft eigenvalue 1 (\(|\psi\rangle \langle\psi| \; |\psi\rangle = |\psi\rangle\))
    • iedere orthogonale vector eigenvalue 0
    • de trace (de som van de diagonaal, dus de som van de eigenvalues) is 1: \(Tr L = \sum \limits_i \langle i|L|i \rangle\)
  • het kwadraat is gelijk aan de projectie-operator zelf (normalisatie)
  • all projection operators of a system added results in I: \(\sum \limits_i = |i\rangle\langle|i| = I\)
  • \(\langle\psi|L|\psi\rangle = Tr |\psi\rangle \langle\psi| L\)

• \(\langle L \rangle = Tr \rho L\)
• \(\rho = P_1|\phi_1\rangle\langle\phi_1 + P_2|\phi_2\rangle\langle\phi_2 +\)…
• daadwerkelijk matrix indien \(\rho_{aa'} = \langle a | \rho | a' \rangle\)
• en geldt: \(\langle L \rangle\)

• If spin was a normal vector, a measurement a right angle should result in zero. It only does so on average.
• Measuring spin in one direction destroys information on another component.
• One can never know two orthogonal components of spin simultaneously in a reproducible manner.

• Two propositions
  1. The z component of spin is +1
  2. The x component of spin is +1
• The z component is +1 and z and x are determined sequentially.
• The classical meaning of the Boolean logic of (1 OR 2) changes, as in 1/4 the results is false if we reverse the order of testing: (1 OR 2) is different from (2 OR 1).
• The classical (1 AND 2) even becomes meaningless as this is not confirmable.